Nous avons donc montré que les coefficients a et b s'expriment en fonction des deux puissances précédentes de φ.
Mais pour montrer que a est un nombre de la suite de Lucas et b un nombre de la suite de Fibonacci, il faut encore vérifier qu'il existe deux nombres l appartenant à la suite de Lucas, et deux nombres bn et bn+1 appartenant à la suite de Fibonacci. Nous pourrons alors montrer par récurrence notre conjecture.
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D'après les calculs effectués plus haut, Ces deux nombres sont les premiers termes de la suite de Lucas.
D'après ces mêmes calculs, . Ces deux nombres sont les premiers termes de la suite de Fibonacci.
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Nous avons donc montré que, lorsqu'on écrivait , les nombres a et b appartiennent respectivement aux suites de Lucas et de Fibonacci, prouvant une fois de plus le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or.
φ
A-La suite de Fibonacci en mathématiques
0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34,...
1.Le rapport entre deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci
2.Les puissances du nombre d'or
A-Relation entre trois puissances consécutives du nombre d'or
B-Suites de Fibonacci et de Lucas dans les puissances du nombre d'or
B-La nature, la suite de Fibonacci et la phyllotaxie
1.Définitions
les structures verticillées : Il peut y avoir plusieurs feuilles (3 ou plus) pour un même nœud, mais tous les nœuds doivent posséder le même nombre de feuilles.
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les structures hélicoïdales ou spiralées : Il n'y a qu'une seule feuille par nœud. C'est cette structure qui concerne le nombre d'or et que nous allons développer.
Noeud : niveaux sur lesquelles se forment les primordium ( Feuilles ). Ils correspondent aux différents cercles sur les schémas.
Les parastiches (ou spirales) sont de deux types différents, qui sont aisément distinguables: chacun correspond à un sens différent. Ainsi certaines spirales sont dans le sens direct (sens sénestre), d'autres dans le sens des aiguilles d'une montre (sens dextre) à partir du centre de la spirale.
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Une spirale en particulier est intéressante: la spirale génératrice. Il s'agit d'une courbe fictive, qui relie les différents primordia par ordre croissant d'âge. Cette courbe est une spirale puisque les primordia s'éloignent à vitesse constante du centre avec le temps. On remarque sur la figure ci-dessous que la spirale génératrice est très serrée.
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Schéma d'une spirale géneratrice
Pomme de pin suivant une structure spiralée. En rouge, des spirales dans le sens sénestre; en vert, des parastiches dans le sens dextre.
Le nombre total de parastiches est un nombre de la suite de Fibonacci, qui est différent pour chaque espèce. On peut citer en exemple les pâquerettes, les tournesols, les marguerites, les pommes de terre, les artichauts, les épis de maïs, voire même les pommes et les poires en faisant une coupe équatoriale.
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Nous allons ici nous intéresser plus particulièrement au chou fleur, à la pomme de pin et à l'ananas. Cependant, on peut dire que de nombreuses fleurs comportent cinq pétales équirépartis (boutons d'or, silène, rhododendrons...). Les extrémités des pétales correspondent alors aux différents sommets d'un pentagone régulier. La liaison avec le nombre d’or est alors évidente, et a été démontrée dans la première partie. De même, la plupart des fleurs comportent un nombres de pétales compris dans la suite de Fibonacci.
Le primordium correspond à un embryon d'une partie d'une plante. Cela peut devenir selon les espèces une écaille (pomme de pin), une étamine (marguerite), une feuille... Ce sont à partir d'eux que sont formées les différentes spirales de la plante.
L'apex, région circulaire (au centre de la tige pour une fleurs), constitue le centre de la plante, le point de départ des primordia, et il les fait pousser en respectant l'angle de divergence,
l'angle d'écart entre deux feuilles, et en respectant l'intervalle régulier entre les différentes graines.
Au fur et à mesure les primordia sont déplacés vers la périphérie et éloignés de l'apex pour que de nouveaux puissent être créés, permettant ainsi à la plante de s'agrandir.
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La structure spiralée est composée de feuilles, qui se situent le long de la tige en une position précise, dictée par des spirales. Tout angle au centre entre deux feuilles consécutives a une mesure précise: l'angle de divergence, qui va définir l'ensemble de la disposition des pétales. Un tout petit écart suffit à transformer totalement une plante, ainsi, toute les plantes similaires auront le même angle de divergence.
Or, il se trouve que cette angle de divergence a un rapport avec le nombre d'or. Prenons l'exemple de la feuille de Tournesol, qui respecte un angle de divergence de 137,5° pour obtenir la structure suivante :
2. Formation de la plante
3.La structure spiralée
Les termes de la suite de Fibonacci peuvent également se manifester dans la disposition des branches d'une plante pendant son développement. On peut observer un nombre croissant de branches de bas en haut et c'est en comptant ce nombre sur chaque plan horizontal, que l'on retrouve la suite de Fibonacci.
On peut aussi retrouver des spirales dans la façon dont est disposée la face postérieure d’une pomme de pin.
On peut voir 13 spirales qui s’enroulent dans le sens direct (contraire aux aiguilles d’une montre) en rouge et 8 autres en vert qui s’enroulent dans le sens inverse, le sens indirect. Les deux nombres, 8 et 13, sont des nombres successifs de la suite de Fibonacci.
De la même façon, on trouve ces spirales dans le chou-fleur en rejoignant les petits espaces formés entre deux petits morceaux.
vidéo réalisée par nos soins
De la même façon que sur la pomme de pin, on retrouve dans le chou-fleur 8 spirales dans le sens direct et 5 spirales dans le sens indirect, deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
On trouve aussi un exemple marquant de la présence de la suite de Fibonacci, et donc du nombre d'or avec l'ananas. En effet, on peut distinguer 3 sortes de spirales sur ce fruit, et leur nombres est respectivement 5, 8 et 13, trois nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
Chez les abeilles, seule la reine est fertile. Depuis sa naissance, grâce à un régime spéciale, une simple larve devient reine. Elle entreprend quelque temps après sa naissance plusieurs vols nuptiaux dans lesquels elle va s’accoupler avec plusieurs mâles. Elle emmagasine lors de ces vols suffisamment de gamètes dans sa spermathèque (réserve de sperme) pour lui permettre d’engendrer plusieurs colonies pour toute la durée de sa vie (5 ans). La tâche de féconder ou non un œuf lui revient ensuite. Quand un œuf est fécondé il devient une femelle et lorsqu’il ne l’est pas il devient un mâle. Un mâle aura donc seulement une femelle pour parents, et une femelle aura pour parents un mâle et une femelle.
C’est dans la parenté d’un mâle quelconque que se retrouve la suite de Fibonacci.
Soit les ancêtres (M=mâle ; F=femelle) d'une abeille mâle.
On observe que que sur ce schéma, si l'on part du haut, et qu'on prend pour génération, et donc rang 0 dans une suite, le premier mâle, chaque génération comportera un nombre d'individus égal à l'image de son rang par la suite de Fibonacci. Ainsi, plus on remonte dans la lignée de ce mâle, plus on avance dans la suite de Fibonacci. Par ailleurs, cet arbre généalogique est similaire à l'exemple des lapins qu'avait utilisé Fibonacci pour présenter sa suite, rajoutons cependant que les lapins qu'il utilise doivent être immortels, contrairement aux abeilles.
La suite de Fibonacci a pour origine un problème récréatif de Fibonacci dans l'oeuvre Liber Abaci, paru en 1202. Elle se présentait comme l'évolution d'une population de lapins immortels.
La phyllotaxie est une subdivision de la botanique qui consiste en l'étude de la disposition de primordia ( feuilles, écailles, étamines,...) autour de la tige d'une plante. Elle caractérise ainsi différentes espèces de végétaux.
Par ailleurs, elle peut être utilisée dans une sous-partie d'un végétaux comme un fruit, une pomme de pin, la fleur d'un arbre,....
On différencie plusieurs structures en phyllotaxie ;
L'arbre généalogique des abeilles
La suite de Fibonacci est la suite définie par récurrence par : avec :
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Cette suite de nombres possède de nombreux liens avec le nombre d'or que nous allons démontrer.
On observe ainsi que, lorsque n tend vers l'infini, le quotient tend vers φ, dont une valeur approchée est 1.618033989.
Jacques Binet, mathématicien français, définit en 1843 le terme général de la suite de Fibonacci.
Ce terme vaut :
On voit donc que chaque terme est défini en fonction de φ
Montrons maintenant que le rapport entre deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers φ.
Pour tout n différent de 0, est différent de 0.
Calculons donc, pour tout n appartenant à N*, le quotient :
( On simplifie par l'inverse de la racine de 5)
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(Par multiplication par )
Lorsque n tend vers est négligeable face à est négligeable face à
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On peut donc écrire :
Ainsi, le rapport entre deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers φ.
On observe que , ou encore que , ou encore que .
On peut donc dire que, pour tout entier naturel n, : .
il suffit de multiplier les deux membres par .
En utilisant la formule établie précédemment, on trouve que :
Tous ces nombres s'expriment sous la forme , avec a et b deux entiers naturels.
Observons le nombre a : ce nombre est un nombre de la suite de Lucas.
Le nombre b, lui, est un nombre de la suite de Fibonacci.
Cette suite de Lucas est la suite définie par récurrence par , comme la suite de Fibonacci, mais avec
Il est ensuite aisé de montrer que toute puissance de φ s'exprime sous la forme
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Montrons maintenant que:
Par ailleurs, (par simplification par 2). On rappelle que
Cela équivaut à (par multiplication par la partie conjuguée)
Nous pouvons maintenant déterminer que :
​​​​On trouve des dénominateurs égaux à 2 car les expressions de sont données avec un dénominateur de 4 (contre un dénominateur de 2 pour ).
Alors
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De même,
les structures distiques : Les feuilles se font face sur un même nœud.
Observons le lien entre cette angle de divergence et φ :
360/(1-φ)=137,5077
Ce rapport entre l'angle de divergence concerne toute les plantes à structures spiralées.
Schéma de la généalogie des lapins de Fibonacci