(On soustrait a/b+1)
A-Quelques propriétés du nombre d'or
B-Les applications géométriques du nombre d'or
1.Rectangle d'or et spirale d'or
2.Pentagone régulier et nombre d'or
C-Le nombre d'or dans la nature
1.Le visage
Vidéo réalisée par nos soins, qui nous a permis de remplir le tableau suivant.
Masque aux proportions du nombre d'or. On voit qu'il représente bien un visage humain.
En effet, depuis l’Antiquité, beaucoup de sculpteurs et de peintres utilisent, pour parfaire leur production, certains rapports: pour eux, plus ces rapports seront proches de φ, plus le visage de la personne pourra être considéré comme parfait. Léonard de Vinci, par exemple, a utilisé le nombre d’or pour son Homme de Vitruve:
Homme de Vitruve, Léonard de Vinci
Voici les cinq rapports les plus marquants:
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La longueur du visage, divisée par la largeur du visage (1)
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La distance entre les lèvres et l’endroit où se croisent les sourcils, divisée par la longueur du nez (2)
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La largeur du visage, divisée par la distance entre les extrémités de la mâchoire et l’endroit où se croisent les sourcils (3)
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La longueur de la bouche divisée par la largeur du nez (4)
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La distance entre les pupilles divisée par la distance entre les sourcils (5)
Dans la vidéo précédente, nous avons effectué des mesures sur des visages pour vérifier ou non la présence du nombre d’or:
Tableau récapitulatif des mesures, avec leur écart relatif à φ
(rapports avec 4 chiffres significatifs, pourcentages avec 2 chiffres significatifs)
Conclusion de l’expérience: Les rapports observés se rapprochent à différents niveaux du nombre d'or. Le visage 1 présente des valeurs plus éloignées de φ, mais leur moyenne s’en rapproche (à 3.5% près).. Le visage 2, lui, donne des mesures plus proches de φ, et la moyenne de ces mesures vaut φ à seulement 3.2% près. Finalement on peut conclure que ces visages exprime le nombre d'or par beaucoup d'aspect
2.Le Nautile
Le Nautile est un céphalopode (classe de mollusques apparue il y a 500 millions d’années, qui présente la particularité d’avoir une tête munie de tentacules) qui n'a pas perdu sa coquille. C'est un véritable fossile marin ; le genre Nautilus existe depuis 120 millions d'années. C'est un animal qui représente le nombre d'or très simplement, et on peut l'observer à vue d’œil. Nous nous intéresserons à sa coquille :
Coquille de nautile
Nautile
Schéma d'une coquille de nautile
On peut observer que la coquille du nautile rentre parfaitement dans une série de rectangles d'or, et dessine une spirale identique à la spirale d'or, vue précédemment. Ainsi, le nautile utilise un rapport longueur/hauteur égal au nombre d'or pour construire les rectangles dans lesquels s'inscrit la forme spiralée de sa coquille.
Euclide, mathématicien grec (IVème-IIIème siècle avant JC) définit la proportion d'or, dite « d'extrême et moyenne raison » dans ses Éléments : « la proportion définie par a et b est dite d' « extrême et moyenne raison » lorsque a est à b ce que a + b est à a » ce qui signifie que a/b = (a+b)/a. En posant (a+b)/a = a/b, le rapport a/b qui vérifie cette équation est égal au nombre d’or.
En partant de cette définition, on obtient la suite d'équivalences suivante (avec ) :
Le nombre d'or est un rapport entre deux longeurs, il est donc positif et égal au rapport a/b. φ est donc la solution positive de l'équation :
Pour trouver la valeur du nombre d'or, on cherche les racines du polynôme de second degré :
Les racines du polynôme sont donc : ,
et .
​
La racine positive est la valeur exacte du nombre d'or.
Reprenons l'expression : cette équation équivaut à
(x étant différent de 0), ou encore à .
​
Le nombre d'or φ peut donc s'exprimer de différentes manières :
Le nombre d'or possède de nombreuses applications géométriques aux propriétés étonnantes. Nous allons vous en lister quelques-unes.
On dit d'un rectangle ABCD (AB > BC) non aplati qu'il est d'or, si et seulement si .
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Soient les points E et F, appartenant respectivement aux segments [AB] et [CD], tels que
Le quadrilatère AEFD est alors un carré.
Démontrons maintenant que le quadrilatère EBCF est aussi un rectangle d'or.
On sait que (démontré plus haut). Les longueurs EB et CF valent toutes deux AB - BE
​
soit . On en déduit que EB = 1/φ .
Par ailleurs, BC = 1. On en déduit que . D'après la définition d'un rectangle d'or, on montre donc que, si l'on enlève un carré à un rectangle d’or, le rectangle restant sera d'or, cette propriété restant vraie si l'on ajoute un carré au lieu de l'enlever.
En prolongeant la construction à l'infini, on peut construire une spirale d'or, en liant les sommets opposés des carrés par des arcs de cercle.
Le nombre d’or se retrouve aussi dans le pentagone régulier.
Soit ABCDE un pentagone régulier de centre O et de côté DE = p . Soit F le point d’intersection des droites (AD) et (BE) et G le point d’intersection des droites (AC) et (BE).
Considérons le triangle BDE, et traçons la bissectrice issue de D.
Cette bissectrice coupe le segment [BE] en F.
Montrons d’abord que les triangles BDE et DEF sont semblables :
ABCDE est un pentagone, donc = 108° (en effet la somme des angles d'un pentagone est de 540°, soit 540/5 = 108° pour un seul angle). .Comme (DF) est la bissectrice de l'angle , on a
On en déduit que
​
De même dans le triangle ACD, (BD) est la bissectrice issue de D donc . D'après l'égalité établie plus haut, on en déduit :
On démontre alors que les triangles BDE et DEF comportent chacun un angle de mesure 36° et deux autres angles de mesure 72°. Ces deux triangles sont donc semblables, et isocèles respectivement en B et D.
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Posons ED=1. Nous allons maintenant montrer que EB=φ.
​
Les deux triangles BDE et DEF étant semblables, on peut écrire :
En posant ED=1 on trouve FD=FB=1 et EF=EB-1.
Et en remplaçant dans l’égalité précédente, on a :
On en déduit que EB=φ.
Le rapport entre la diagonale et le côté d’un pentagone régulier vaut donc φ.
Le corps humain, élément de la nature, présente de nombreux rapports d'or, en particulier au niveau du visage. Depuis l'Antiquité, ces rapports sont très utilisés pour produire sculpture et peinture représentant un humain.
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